圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
圓知識(shí)點(diǎn)是數(shù)學(xué)中的一大考點(diǎn)，題目也變化多端，那么我們應(yīng)該怎么進(jìn)行圓知識(shí)點(diǎn)的歸納呢?下面圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)是小編為大家?guī)?lái)的，希望對(duì)大家有所幫助。
一、圓的定義。
1、以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的點(diǎn)組成的圖形。
2、在同一平面內(nèi)，到一個(gè)定點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)組成的圖形。
二、圓的各元素。
1、半徑：圓上一點(diǎn)與圓心的連線段。
2、直徑：連接圓上兩點(diǎn)有經(jīng)過(guò)圓心的線段。
3、弦：連接圓上兩點(diǎn)線段(直徑也是弦)。
4、弧：圓上兩點(diǎn)之間的曲線部分。半圓周也是弧。
(1)劣弧：小于半圓周的弧。
(2)優(yōu)弧：大于半圓周的弧。
5、圓心角：以圓心為頂點(diǎn)，半徑為角的邊。
6、圓周角：頂點(diǎn)在圓周上，圓周角的兩邊是弦。
7、弦心距：圓心到弦的垂線段的長(zhǎng)。
三、圓的基本性質(zhì)。
1、圓的對(duì)稱(chēng)性。
(1)圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)軸是直徑所在的直線。
(2)圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)中心是圓心。
(3)圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形。
2、垂徑定理。
(1)垂直于弦的直徑平分這條弦，且平分這條弦所對(duì)的兩條弧。
(2)推論：
平分弦(非直徑)的直徑，垂直于弦且平分弦所對(duì)的兩條弧。
平分弧的直徑，垂直平分弧所對(duì)的弦。
3、圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)。圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧度數(shù)的一半。
(1)同弧所對(duì)的圓周角相等。
(2)直徑所對(duì)的圓周角是直角;圓周角為直角，它所對(duì)的弦是直徑。
4、在同圓或等圓中，兩條弦、兩條弧、兩個(gè)圓周角、兩個(gè)圓心角、兩條弦心距五對(duì)量中只要有一對(duì)量相等，其余四對(duì)量也分別相等。
5、夾在平行線間的兩條弧相等。
6、設(shè)⊙O的半徑為r，OP=d。
7、(1)過(guò)兩點(diǎn)的圓的圓心一定在兩點(diǎn)間連線段的中垂線上。
(2)不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，圓心是三邊中垂線的交點(diǎn)，它到三個(gè)點(diǎn)的距離相等。
(直角三角形的外心就是斜邊的中點(diǎn)。)
8、直線與圓的位置關(guān)系。d表示圓心到直線的距離，r表示圓的半徑。
直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，直線與圓相交;直線與圓只有一個(gè)交點(diǎn)，直線與圓相切;
直線與圓沒(méi)有交點(diǎn)，直線與圓相離。
9、平面直角坐標(biāo)系中，A(x1，y1)、B(x2，y2)。
則AB=
10、圓的切線判定。
(1)d=r時(shí)，直線是圓的切線。
切點(diǎn)不明確：畫(huà)垂直，證半徑。
(2)經(jīng)過(guò)半徑的外端且與半徑垂直的直線是圓的切線。
切點(diǎn)明確：連半徑，證垂直。
圓的基本概念與表示方法
圓是初中幾何的核心圖形，其定義與表示方法是學(xué)習(xí)后續(xù)知識(shí)的基礎(chǔ)。從幾何定義來(lái)看，圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)（圓心）的距離等于定長(zhǎng)（半徑）的所有點(diǎn)的集合，定點(diǎn)稱(chēng)為圓心，定長(zhǎng)稱(chēng)為半徑，用符號(hào) “⊙” 表示，如以點(diǎn) O 為圓心、半徑為 r 的圓，可記作 “⊙O”，讀作 “圓 O”。
需重點(diǎn)區(qū)分與圓相關(guān)的基本概念：連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段叫半徑（如 OA），同一圓內(nèi)所有半徑長(zhǎng)度相等；通過(guò)圓心且兩端都在圓上的線段叫直徑（如 AB），直徑長(zhǎng)度是半徑的 2 倍，即 d=2r，直徑是圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦；圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧，大于半圓的弧叫優(yōu)弧（用三個(gè)字母表示，如⌒ACB），小于半圓的弧叫劣弧（用兩個(gè)字母表示，如⌒AB）；由弦和它所對(duì)的弧組成的圖形叫弓形，由圓心角和它所對(duì)的弧組成的圖形叫扇形。
在平面直角坐標(biāo)系中，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (x - a) + (y - b) = r，其中 (a, b) 是圓心坐標(biāo)，r 是半徑。若圓心在原點(diǎn)（0,0），方程簡(jiǎn)化為 x + y = r。掌握這些基本概念與表示方法，能為后續(xù)學(xué)習(xí)圓的性質(zhì)、位置關(guān)系打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，尤其在解決坐標(biāo)系中圓的問(wèn)題時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方程是重要工具。
圓的對(duì)稱(chēng)性與相關(guān)性質(zhì)
圓具有獨(dú)特的對(duì)稱(chēng)性，這是其諸多性質(zhì)的根源，主要包括軸對(duì)稱(chēng)性和中心對(duì)稱(chēng)性。從軸對(duì)稱(chēng)性來(lái)看，圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，任意一條經(jīng)過(guò)圓心的直線（直徑所在直線）都是它的對(duì)稱(chēng)軸，且有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸。利用這一性質(zhì)可推導(dǎo)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，且平分弦所對(duì)的兩條弧。例如，若直徑 CD 垂直于弦 AB 于點(diǎn) E，則 AE=EB，⌒AC=⌒BC，⌒AD=⌒BD。需注意，垂徑定理的逆定理同樣成立，即平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，且平分弦所對(duì)的弧。
從中心對(duì)稱(chēng)性來(lái)看，圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形，圓心是它的對(duì)稱(chēng)中心，繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都能與自身重合，這一性質(zhì)延伸出 “圓心角、弧、弦的關(guān)系定理”：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等；反之，相等的弧或相等的弦所對(duì)的圓心角也相等。例如，在⊙O 中，若∠AOB=∠COD，則⌒AB=⌒CD，AB=CD。
此外，圓周角定理是圓的核心性質(zhì)之一：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，且等于它所對(duì)的圓心角的一半。如⌒AB 所對(duì)的圓周角∠ACB 和∠ADB 相等，且∠ACB=∠AOB。特別地，直徑所對(duì)的圓周角是直角（90°），如直徑 AB 所對(duì)的圓周角∠ACB=90°，這一性質(zhì)在證明直角三角形、計(jì)算線段長(zhǎng)度時(shí)應(yīng)用廣泛。掌握?qǐng)A的對(duì)稱(chēng)性與相關(guān)定理，能快速解決與弦、弧、角相關(guān)的幾何問(wèn)題。
圓的周長(zhǎng)、面積與扇形相關(guān)計(jì)算
圓的周長(zhǎng)、面積及扇形的弧長(zhǎng)、面積計(jì)算是幾何應(yīng)用的重點(diǎn)，需熟練掌握公式推導(dǎo)與實(shí)際應(yīng)用。首先是圓的周長(zhǎng)：圓的周長(zhǎng) C 與半徑 r 的關(guān)系為 C=2πr，與直徑 d 的關(guān)系為 C=πd，其中 π 是圓周率（約等于 3.14），這一公式源于 “圓的周長(zhǎng)與直徑的比值是定值 π” 的基本規(guī)律。例如，半徑為 3cm 的圓，周長(zhǎng) C=2×π×3=6π≈18.84cm。
圓的面積公式為 S=πr，推導(dǎo)過(guò)程可通過(guò) “化圓為方”：將圓分割成無(wú)數(shù)個(gè)小扇形，拼成近似長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓周長(zhǎng)的一半（πr），寬等于半徑 r，因此面積 S = 長(zhǎng) × 寬 =πr×r=πr。如直徑為 4cm 的圓，半徑 r=2cm，面積 S=π×2=4π≈12.56cm。
扇形作為圓的一部分，其相關(guān)計(jì)算需結(jié)合圓心角 n（單位：度）與圓的關(guān)系。扇形弧長(zhǎng) l 是圓周長(zhǎng)的 n/360，公式為 l=(nπr)/180；扇形面積 S 扇是圓面積的 n/360，公式為 S 扇 =(nπr)/180，也可通過(guò) “弧長(zhǎng) × 半徑 ÷2” 推導(dǎo)，即 S 扇 =(1/2) lr，兩種公式可根據(jù)已知條件靈活選用。例如，圓心角為 60°、半徑為 6cm 的扇形，弧長(zhǎng) l=(60×π×6)/180=2π≈6.28cm，面積 S 扇 =(60×π×6)/180=6π≈18.84cm，或用 S 扇 =(1/2)×2π×6=6π，結(jié)果一致。
在實(shí)際問(wèn)題中，需注意單位統(tǒng)一（如半徑用厘米，結(jié)果單位為平方厘米），并結(jié)合圖形特點(diǎn)選擇公式，如計(jì)算扇環(huán)面積時(shí)，用大扇形面積減去小扇形面積即可。
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